Уравнение высоты опущенной из вершины на грань

Уравнение высоты опущенной из вершины на грань

Инструкция . Для решения подобных задач в онлайн режиме заполните координаты вершин, нажмите Далее . см. также по координатам треугольника найти.

  • Решение онлайн
  • Видеоинструкция
  • Оформление Word

Пример №1 . В пирамиде SABC : треугольник ABC — основание пирамиды, точка S – ее вершина. Даны координаты точек A, B, C, S . Сделать чертеж.
Решение: Координаты векторов находим по формуле: X = x2 — x1; Y = y2 — y1; Z = z2 — z1
Так, для вектора AB, это будут координаты: X = 0-2; Y = 3-0; Z = 0-0, или AB(-2;3;0).
AC(-2;0;1); AD(-2;2;3); BC(0;-3;1); BD(0;-1;3); CD(0;2;2) .
Длину вектора находим по формуле:

  • Решение
  • Видео решение

Пример №2 . В тетраэдре ABCD вычислить:

  1. объем тетраэдра ABCD;
  2. высоту тетраэдра, опущенную из вершины D на грань ABC.

A(2, 3, -2), B(3, 1, 0), C(-2, 2, 1), D(6, 1, -1)

Задача д). Найти уравнение высоты пирамиды, проведенной из вершины А4

Высота пирамиды, опущенная из вершины А4(4,1,3) на грань А1А2А3, лежит на прямой, проходящей через точку А4. Кроме того, эта прямая перпендикулярна плоскости

-7 x + 3 y + z + 16 = 0 (1)

которой принадлежит грань А1А2А3.

Из уравнения (1) следует, что вектор n нормали к плоскости имеет координаты (-7, 3, 1). Таким образом, направляющий вектор прямой коллинеарен вектору n. Следовательно, каноническое уравнение высоты имеет вид

= =

Пример 2. Даны координаты вершин пирамиды ABCD: A(10;6;6), B(-2;8;2), C(6;8;9), D(7;10;3).

Угол между ребрами АВ и АD;

Уравнение прямой АВ;

Уравнение плоскости АВС;

Угол между ребром АD и гранью АВС;

Площадь грани АВС;

Уравнение высоты, опущенной из вершины D на грань АВС.

1) Если ребро АВ обозначить за вектор , то длина ребра — это длина вектора. Находим координаты вектора :

Если =(х;у:z), то его длина .

2) Угол между ребрами АВ и АD – это угол между векторами и . Находим координаты вектора .

Читайте также:  Код ошибки dr1001 nfs payback

Из пункта 1) нам известны координаты вектора =(-12;2;-4). Угол между двумя векторами находится по формуле:

Если векторы и имеют координаты =(х1;у1:z1), (х2;у2:z2) соответственно, то эта формула перепишется в виде:

3) Уравнение прямой, проходящей через две точки М1(х1;у1;z1) и М2(х2;у2;z2) имеет вид:

или равносильное ему уравнение:

где =(l,m,n) – координаты направляющего вектора прямой М1М2.

Направляющий вектор прямой – это вектор, параллельный прямой. В нашем случае прямая проходит через точки А(10;6;6) и В(-2;8;2).Следовательно, уравнение прямой АВ:

Итак, каноническое уравнение прямой АВ:

где направляющий вектор

4) Уравнение плоскости по трем точкам находится по формуле:

где А(х1;у1;z1); В (х2;у2;z2); С(х3;у3;z3) – точки, через которые проходит плоскость. Подставляя координаты точек А, В, С в формулу ( * ) , получим:

Считаем определитель, разложив его по первой строке.

где — алгебраические дополнения элементов , а Мi j – минор элемента . Минором элемента матрицы называется определитель, получаемый (вычеркиванием строки и столбца, на пересечении которых он расположен) из данного. Следовательно,

Итак, уравнение плоскости АВС:

5) Требуется найти угол между ребром АD и гранью АВС. Это равносильно нахождению угла между прямой АD и плоскостью АВС. Угол между прямой и плоскостью Ах+Ву+Сz+D=0 определяется по формуле:

где — координаты нормального вектора плоскости АВС.

— координаты направляющего вектора прямой АD.

Находим уравнение прямой АD по двум точкам:

Т.к. уравнение плоскости АВС: , то ее нормальный вектор .

6) Площадь грани АВС – это площадь треугольника АВС. Если треугольник построен на векторах и , то его площадь считается по формуле:

Из пункта 1) имеем =(-12;2;-4).Находим координаты вектора .

Далее необходимо найти векторное произведение .Составляем определитель и вычисляем его, раскладывая по первой строке.

находим длину полученного вектора:

Читайте также:  Ghost recon wildlands видео обзор

7) Объем пирамиды равен объема параллелепипеда, построенного на векторах , , . Координаты этих векторов найдены ранее: , , .

8) Грань АВС имеет нормальный вектор . Для того, чтобы составить уравнение высоты, надо знать направляющий вектор той прямой, где лежит высота. Т.к. DH ^ ABC (DH-высота), то ( -параллелен прямой DH, а — перпендикулярен АВС). Следовательно, в качестве направляющего вектора прямой DH можно взять нормальный вектор плоскости АВС. Т.е. . Уравнение высоты имеет вид:

Ссылка на основную публикацию
Умные часы для детей xiaomi mi bunny
Детские смарт-часы Xiaomi, изготовленные из прочного пластика различных оттенков, предназначены для отображения текущего времени и дополнительной информации (например, о пройденной...
Телефон с камерой лучше чем у айфона
В России начинаются продажи смартфонов iPhone XS и iPhone XS Max. Цены в этот раз просто заоблачные — средняя (256...
Телефон с горизонтальной камерой
Сегодня мало кого можно удивить телефоном с двумя основными камерами. А вот сдвоенную фронтальную камеру встретишь далеко не в каждом...
Улучшить качество связи мтс
Усилитель сигнала МТС– специальный прибор, который необходим для того, чтобы предоставлять более сильный сигнал сотовой связи. Невозможно звонить или отправлять...
Adblock detector