Упростите следующие формулы используя законы склеивания

Упростите следующие формулы используя законы склеивания

Для написания любой логической функции может быть использовано логическое выражение, после чего можно составить логическую схему. Как правило, все логические выражения упрощают для получения максимально простой и дешевой логической схемы. В сущности, логическая схема, выражение и логическая функция, являются тремя различными языками, повествующими об одном и том же.

Логические выражения упрощают при помощи различных законов алгебры логики. Часть преобразований напоминает преобразования формул, выполняемые в классической алгебре (например, применение сочетательного и переместительного законов, вынесение за скобки равенства общего множителя и так далее). Для других преобразований используют свойства, которых лишены операции классической алгебры.

Любые законы алгебры логики выводят для главных логических операций следующим образом: НЕ — инверсия (то есть, отрицание); ИЛИ — дизъюнкция (то есть, логическое сложение); И — конъюнкция (то есть, логическое умножение).

Закон двойного отрицания состоит в том, что операция НЕ является обратимой: если ее использовать два раза, логическое значение в результате останется неизменным.

Сущность закона исключенного третьего состоит в том, что каждое логическое выражение при любых условиях является истинным, либо ложным. Если A=1, тогда A=0, а также наоборот. Конъюнкция данных величин всегда равняется 0, дизъюнкция равна 1.

Закон повторения и операции с константами легко можно проверить, используя таблицы истинности операций ИЛИ и И.

Сочетательный и переместительный законы имеют такой же вид, как в математике. Аналогия с привычной всем классической алгеброй.

Для дизъюнкции распределительный закон состоит просто в раскрытии скобок. Для конъюнкции выражение неизвестно, в математике подобное равенство является неверным. Начнем доказывать с правой части. Сначала раскроем скобки:

Используем закон повторение, гласящий, что A⋅A=A,

A+A⋅B=A⋅(1+B)=A⋅1=A, следовательно, (A+B)⋅(A+C)=A+B⋅C.

Мы доказали равенство.

Правил, используемые для раскрытия инверсии сложных выражений, назвали именем известного логика и математика де Моргана. Суть состоит в том, что общее отрицание не только распространяется на отдельные выражения, а еще и дизъюнкция заменяется конъюнкцией (а также наоборот). Для доказательства данных правил используются таблицы истинности.

Читайте также:  Как делать таргет в инстаграме

Основная часть аксиом и законов алгебры логики записаны попарно. Внимательно изучая пары, можно сформулировать принцип двойственности, звучащий следующим образом: если осуществить в тождестве замены конъюнкции, а также дизъюнкции. И также элементов 1 и 0 (при их наличии), получится тождество. Данное свойство именуют принципом двойственности.

Упрощения логических выражений в примерах

Формула, вытекающая из распределительного закона. При ее выведении применили вышеупомянутое правило де Моргана для дизъюнкции, а также использовали закон двойного отрицания, после чего сомножитель X, вынесли за скобку, тогда как в скобках получили закон исключённого третьего, а также применили операцию с константами.

Примеры упрощения логических выражений

Пример первый

Кто из рабочих, обозначенных, как A, B, C, D работает на заводе, а кто нет, если нам даны следующие условия:

  • если работает A либо работает B, тогда не работает C;
  • если не работает B, тогда работает D, а также работает C.

Решение задачи. Обозначим несколько простых высказываний:

  1. A рабочий A на заводе работает;
  2. B рабочий B на заводе работает;
  3. C рабочий C на заводе работает;
  4. D рабочий D на заводе работает.

Сформулировав данные из условия при помощи этих простых высказываний, получим следующее:

Получаем следующую конъюнкцию: ((A+B)→C)⋅(B→C⋅D)⋅C.

После упрощения данной формулы получаем, что A равно 0, B равно 1, C равно 1, D равно 1.

Ответ: ученик A на заводе не работает, а ученики B, C, D играют.

В этом примере применено правило де Моргана, затем использован распределительный закон, после этого применен закон исключенного третьего, потом использован переместительный закон. За ним реализован закон повторения, потом опять применен переместительный закон и, наконец, использован закон поглощения.

Чтобы отыскать решения логического уравнения можно также применить упрощение логических выражений.

Нужно отыскать все решения данного уравнения

Применив правило де Моргана, получим

Читайте также:  Программа для записи гифок с экрана

а затем применяем закон поглощения и получаем

Чтобы логическая сумма равнялась нулю, все слагаемые должны равняться нулю, из чего следует, что

A равно 1, B равно 0, C равно 0, D равно 0.

Это символы не жёстко привязаны к соотв. операциям, можно использовать другие.

Примеры логических выражений

С применением отрицания

Со знаком "эквивалентно"

Со знаком "следствие"

С применением конъюкции и дизъюнкции

С применением Не-и и Не-или

В калькуляторе вы сможете упростить выражения, содержащие следующие операции: NOT, XOR, AND, OR, NAND, NOR, NOT

© Контрольная работа РУ — калькуляторы онлайн

Законы алгебры логики и правила преобразования логических выражений

Равносильные преобразования логических формул имеют то же назначение, что и преобразования формул в обычной алгебре. Они служат для упрощения формул или приведения их к определённому виду путем использования основных законов алгебры логики.

Под упрощением формулы, не содержащей операций импликации и эквиваленции, понимают равносильное преобразование, приводящее к формуле, которая либо содержит по сравнению с исходной меньшее число операций конъюнкции и дизъюнкции и не содержит отрицаний неэлементарных формул, либо содержит меньшее число вхождений переменных.

Некоторые преобразования логических формул похожи на преобразования формул в обычной алгебре (вынесение общего множителя за скобки, использование переместительного и сочетательного законов и т.п.), тогда как другие преобразования основаны на свойствах, которыми не обладают операции обычной алгебры (использование распределительного закона для конъюнкции, законов поглощения, склеивания, де Моргана и др.).

Закон

Формулировка

1. Закон тождества

Всякое высказывание тождественно самому себе.

2. Закон исключенного третьего

Высказывание может быть либо истинным, либо ложным, третьего не дано. Следовательно, результат логического сложения высказывания и его отрицания всегда принимает значение «истина».

3. Закон непротиворечия

Читайте также:  Лучшие тарифы для мобильного интернета

Высказывание не может быть одновременно истинным и ложным. Если высказывание Х истинно, то его отрицание НЕ Х должно быть ложным. Следовательно, логическое произведение высказывания и его отрицания должно быть ложно.

4. Закон двойного отрицания

Если дважды отрицать некоторое высказывание, то в результате получим исходное высказывание.

5. Переместительный (коммутативный) закон

Результат операции над высказываниями не зависит от того, в каком порядке берутся эти высказывания.

6. Сочетательный (ассоциативный) закон

При одинаковых знаках скобки можно ставить произвольно или вообще опускать.

5. Распределительный (дистрибутивный) закон

(X / Y) / Z= (X / Z) / (Y / Z)

(X / Y) / Z = (X / Z) / (Y / Z)

Определяет правило выноса общего высказывания за скобку.

7. Закон общей инверсии Закон де Моргана

Закон общей инверсии.

8. Закон равносильности (идемпотентности)

от латинских слов idem — тот же самый и potens —сильный

9. Законы исключения констант:

10. Закон поглощения:

11. Закон исключения (склеивания):

12. Закон контрапозиции

14. А В = (А / В) / (¬A / ¬B);

15. А В = (¬A / В) / (А /¬B).

Применим законы алгебры логики. Покажем на примере как можно упростить логическое выражение:

1) (A/B) / (A/¬B) = A / (B / B)= A / 1 = A

Законы алгебры логики применяются в следующей последовательности: правило де Моргана, сочетательный закон, правило операций переменной с её инверсией и правило операций с константами.

¬ (X / Y) / (X / ¬Y) = ¬ X / ¬Y / (X / ¬Y) = ¬ X / X/¬Y /¬Y= 0 ¬Y /¬Y

3) применяется правило де Моргана, выносится за скобки общий множитель, используется правило операций переменной с её инверсией

4) ¬ X / Y / ¬ (X / Y) / X = ¬ X / Y / ¬ X / ¬Y / X= ¬ X / (Y / ¬Y) / X= ¬ X / X= 1

Ссылка на основную публикацию
Умные часы для детей xiaomi mi bunny
Детские смарт-часы Xiaomi, изготовленные из прочного пластика различных оттенков, предназначены для отображения текущего времени и дополнительной информации (например, о пройденной...
Телефон с камерой лучше чем у айфона
В России начинаются продажи смартфонов iPhone XS и iPhone XS Max. Цены в этот раз просто заоблачные — средняя (256...
Телефон с горизонтальной камерой
Сегодня мало кого можно удивить телефоном с двумя основными камерами. А вот сдвоенную фронтальную камеру встретишь далеко не в каждом...
Улучшить качество связи мтс
Усилитель сигнала МТС– специальный прибор, который необходим для того, чтобы предоставлять более сильный сигнал сотовой связи. Невозможно звонить или отправлять...
Adblock detector