При умножении ненулевых матриц получиться нулевая матрица

При умножении ненулевых матриц получиться нулевая матрица

Пусть А (mxn), B(p,q). При каких условиях на m,n,p,q существуют произведения этих матриц?

Произведением матриц и называется матрица , элементы которой определены равенством

Произведение матриц и будем обозначать .

Из определения следует, что произведение определено лишь в том случае, когда число столбцов матрицы совпадает с числом строк матрицы . Это означает, что оба произведения и определены тогда и только тогда, когда матрицы A и B имеют размеры и соответственно. Следовательно равенство возможно лишь для квадратных матриц одинакового порядка. Однако и в этом случае произведение матриц, вообще говоря, зависит от порядка сомножителей.

, тогда

.

Следовательно .

Может ли произведение 2х ненулевых матриц равняться нулевой?

Произведение двух ненулевых матриц может равняться нулевой матрице, т.е. из того, что А ∙ В =0, не следует, что А=0, или B=0. Например,

Ф-лы сокращенного умножения для матриц.

(Распределительное свойство относительно сложения матриц);

(Распределительное свойство относительно сложения чисел);

.

Операция умножения матриц обладает следующими свойствами:

(Свойство ассоциативности),

, для любого действительного числа α,

, (Свойство дистрибутивности)

Определение линейно зависимых строк (столбцов) матрицы.

Строки (столбцы) матрицы называются линейно зависимыми, если существует их линейная комбинация, не все коэффициенты в которой равны 0, равная нулевой строке (столбцу)

Определение линейно независимых строк (столбцов) матрицы.

Строки и столбцы матрицы, элементы которых входят в базисный минор, линейно независимы. Любая строка (столбец) матрицы является линейной комбинацией этих строк (столбцов).

Ранг прямоугольной матрицы.

Ранг столбца (или строки) прямоугольной матрицы чисел равно числу линейно независимых столбцов (или строк) элементов матрицы. Если не существует зависимых столбцов, то ранг матрицы равен числу всех столбцов, и говорят, что матрица имеет полный ранг. Если ранг матрицы меньше числа столбцов, то говорят, что матрица имеет неполный ранг, и она называется вырожденной.

Сформулировать теорему Кронекера-Капелли.

Система линейных алгебраических уравнений совместна тогда и только тогда, когда ранг основной матрицы равен рангу расширенной матрицы.

Формулы Крамера

Ф-ла для обратной матрицы в общем виде.

Читайте также:  Svchost exe localsystemnetworkrestricted грузит оперативную память

Теорема о существовании обратной матрицы.

Матрица называется обратной к матрице , если , где — единичная матрица. Матрица , для которой существует обратная матрица, называется обратимой.

Так как равенство возможно лишь для квадратных матриц одинакового размера, то обратимой может быть лишь квадратная матрица. Однако, не каждая квадратная матрица обратима.

Критерий обратимости

Матрица обратима тогда и только тогда, когда она не вырождена.

Квадратная матрица называется вырожденной, если , и невырожденной, если .

12. Сформулировать условие сеществования и единственности решения СЛАУ:Система линейных алгебраических уравнений с квадратной невырожденной матрицей совместна и имеет единственное решение.

13. Сформулировать теорему об определителях треугольной и диагональной матриц:Определитель любой верхней треугольной (нижней треугольной) матрицы равен произведению диагональных элементов. Определитель любой диагональной матрицы равен произведению диагональных элементов.

14. Сформулировать теорему об определителе произведения матриц:Определитель произведения квадратных матриц и равен произведению определителей матриц-сомножителей, т.е.

15. Определить операции с векторами (сумма, разность, произведение вектора на число) и указать их свойства:Суммой двух векторов и называется вектор, идущий из начала вектора в конец вектора при условии, что вектор приложен к концу вектора Правило сложения векторов обладает следующими свойствами:1. (Коммутативностьсложения)2. (Ассоциативность сложения)3.Существует нулевой вектор , такой что для любого вектора . 4.Для любого вектора существует противоположный к нему вектор , такой, что . Разностью векторов и называется такой вектор , что . Произведением вектора на число называется вектор , коллинеарный вектору , имеющий длину и направление, совпадающее с направлением вектора в случае и противоположное направлению в случае . В случае, когда , или произведение представляет собой нулевой вектор, направление которого не определено. Операция умножения вектора на число обладает следующими свойствами: ; 2. 3.

16. Дать инвариантное определение скалярного произведения двух векторов:Скалярным произведением двух ненулевых векторов называется число, равное произведению длин этих векторов на косинус угла �� между ними.

17. Написать формулу для вычисления скалярного произведения двух векторов в декартовой С.К.:

Читайте также:  Поиск решений в excel mac

Элементы линейной алгебры

Матрицы

Матрицей А размера m´n называется прямоугольная таблица из m строк и n столбцов, состоящая из чисел или иных математических выражений aij , i = 1, 2, . , m; j = 1, 2, . , n:


где aij элементы матрицы, причем индекс i в элементе aij означает номер строки, а j – номер столбца, на пересечении которых стоит данный элемент.

Квадратнойматрицей n-го порядка называется матрица размера nxn.

Диагональной называется квадратная матрица, у которой все элементы вне главной диагонали (т.е. с индексами i¹j ) равны нулю.

Единичной (Е) называется диагональная матрица со всеми единицами на главной диагонали.

Нулевой называется матрица, все элементы которой равны нулю.

Операции над матрицами


Суммаматриц А = (aij) и В = (bij) одинакового размера есть матрица С= (сij) того же размера ( A + B = C ), причем cij = аij + bij" i,j.

Произведениемматрицы А = (aij) на число l называется матрица С= (сij) того же размера, что и матрица А ( lA = C ), причем сij =laij " i,j .

Разность матриц А = (aij) и В = (bij) одинакового размера определяется как сумма матрицы А и умноженной на –1 матрицы В ( С =A — B = A + (-1)B ), т.е. cij = аij — bij" i,j.

Задание для самоконтроля: Найти линейную комбинацию матриц

1) 2А + 3В, где А = , В = . 2) АλЕ, где А = .
Произведением АВ
матриц А и В (размером mxn и nxr соответственно) называется

матрица Сразмера mxr, такая что

Т.о. каждый элемент сij матрицы С равен сумме произведений соответствующих элементов i-ой строки матрицы А и j-го столбца матрицы В. Другими словами, чтобы найти элемент сij нужно умножить элементы i-ой строки матрицы А на соответствующие элементы j-го столбца матрицы В и полученные произведения сложить.


Произведение АВ существует, только если число столбцов матрицы А равно числу строк матрицы В. При этом, если размеры матриц А и В mxn и nxr соответственно, то размер матрицы С будет mxr: ( [mxn] ×[nxr] = [mxr] ).

Читайте также:  Как в опен офис посчитать сумму столбца

Задание для самоконтроля:

1) Найти (если возможно) произведение матриц: 1) , 2) .

2)Найти значение матричного многочлена f (A), если: f (х) = -2х 2 + 5х + 9, А = .

В общем случае АВ ¹ ВА. Если АВ = ВА, то матрицы А и В называются перестановочными (коммутирующими).

Задание для самоконтроля:

1) Проверить, коммутируют ли матрицы: 1) , 2) .

Транспонированной к матрицеА = (aij)называется матрица А Т такая, что aij Т = aji, т.е. все строки матрицы А Т равны соответствующим столбцам матрицы А.

Задание для самоконтроля:

1) Транспонировать матрицы: 1) , 2) , 3) .

Ступенчатая матрица (на примерах):

Элементарными преобразованиями матрицыназываются следующие операции:

1. Перестановка местами двух строк (столбцов).

2. Умножение строки (столбца) на число, отличное от нуля.

3. Добавление к элементам одной строки (столбца) соответствующих элементов другой строки (столбца), умноженных на некоторое число.

Матрица В, полученная из матрицы А с помощью элементарных преобразований, называется эквивалентной матрице А ( В

Задание для самоконтроля:

Привести к ступенчатому виду матрицы: 1) 2) 3) .

Контрольные вопросы:

  1. Если матрицы А и В можно умножать, следует ли из этого, что их можно складывать?
  2. Если матрицы А и В можно складывать, следует ли из этого, что их можно умножать?
  3. Можно ли умножить квадратную матрицу на неквадратную?
  4. Может ли произведение неквадратных матриц быть квадратной матрицей?
  5. Может ли при умножении ненулевых матриц получиться нулевая матрица?
  6. Могут ли совпадать матрицы А и А Т ?
  7. Как выглядит матрица (А Т ) Т ?
  8. Верно ли равенство (А + В) Т = А Т + В Т ?
  9. Верно ли равенство (А + Е) (АЕ) = А 2 – Е?
  10. Могут ли быть эквивалентными матрицы с различным количеством строк? столбцов?
  11. Может ли нулевая матрица быть эквивалентной ненулевой матрице?

ну и видите, что в данном случае должно выполняться требование
a * e + b * g = 0
a * f + b * h = 0
c * e + d * g = 0
c * f + d * h = 0

Если одна из матриц задана, то из системы уравнений находите значения второй матрицы.

Ссылка на основную публикацию
Прекращена работа speed exe как исправить
Файл speed.exe из MAGIX AG является частью MAGIX Speed BurnR. speed.exe, расположенный в e:Program FilesMAGIXSpeed3_burnR_mxcdr_MSI с размером файла 3006464 байт,...
Почему артмани при отсеивании ничего не находит
С помощью ArtMoney вы можете получить преимущество в определенной игре, например, накрутив ресурсы. Но случается так, что программа попросту не...
Почему не работает артвид
ARTViD.RU - это развлекательный портал от компании ОАО «ТРК «ТВТ». Сегодня доступ к ресурсу имеют такие интернет-провайдеры, как ТВТ, ТатАИСнефть,...
При умножении ненулевых матриц получиться нулевая матрица
Пусть А (mxn), B(p,q). При каких условиях на m,n,p,q существуют произведения этих матриц? Произведением матриц и называется матрица , элементы...
Adblock detector