Определить является ли система векторов линейно зависимой

Определить является ли система векторов линейно зависимой

Выяснить, является ли данная система векторов линейно зависимой или линейно независимой:

Р е ш е н и е.Ищем общее решение системы уравнений

методом Гаусса. Для этого запишем эту однородную систему по координатам:

.

Разрешенная система имеет вид: (rA = 2, n = 3). Система совместна и неопределена. Ее общее решение (x2 – свободная переменная ): x3 = 13x2 ; 3x1 – 2x2 – 13x2 = 0 => x1 = 5x2 => Xo = . Наличие ненулевого частного решения, например, , говорит о том, векторы a1, a2, a3 линейно зависимы.

Пример 2.

Выяснить, является ли данная система векторов линейно зависимой или линейно независимой:

Р е ш е н и е.Рассмотрим однородную систему уравнений a1 x1 + a2 x2 + a3 x3 = Θ

или в развернутом виде (по координатам)

Система однородна. Если она невырождена, то она имеет единственное решение. В случае однородной системы – нулевое (тривиальное) решение. Значит, в этом случае система векторов независима. Если же система вырождена, то она имеет ненулевые решения и, следовательно, она зависима.

Проверяем систему на вырожденность:

= –80 – 28 + 180 – 48 + 80 – 210 = – 106 ≠ 0.

Система невырождена и , т.о., векторы a1, a2, a3 линейно независимы.

Задания.Выяснить, является ли данная система векторов линейно зависимой или линейно независимой:

9. Доказать, что система векторов будет линейно зависимой, если она содержит:

а) два равных вектора;

б) два пропорциональных вектора.

Дата публикования: 2015-10-09 ; Прочитано: 4688 | Нарушение авторского права страницы

studopedia.org — Студопедия.Орг — 2014-2020 год. Студопедия не является автором материалов, которые размещены. Но предоставляет возможность бесплатного использования (0.001 с) .

Линейная зависимость и независимость векторов

Определения линейно зависимой и независимой систем векторов

Пусть имеем систему из n-векторов и имеем набор чисел , тогда

(11)

называется линейной комбинацией данной системы векторов с данным набором коэффициентов.

Определение 23 (через нулевую линейную комбинацию)

Система векторов называется линейно зависимой, если существует такой набор коэффициентов , из которых хотя бы один не равен нулю, что линейная комбинация данной системы векторов с этим набором коэффициентов равна нулевому вектору:

. (12)

Пусть , тогда

Определение 24 (через представление одного вектора системы в виде линейной комбинации остальных)

Система векторов называется линейно зависимой, если хотя бы один из векторов этой системы можно представить в виде линейной комбинации остальных векторов этой системы.

Читайте также:  После замены видеокарты не включается монитор

Определения 23 и 24 эквивалентны.

Определение 25 (через нулевую линейную комбинацию)

Система векторов называется линейно независимой, если нулевая линейная комбинация этой системы возможна лишь при всех равных нулю.

Определение 26 (через невозможность представления одного вектора системы в виде линейной комбинации остальных)

Система векторов называется линейно независимой, если не один из векторов этой системы нельзя представить в виде линейной комбинации других векторов этой системы.

Свойства линейно зависимой и независимой систем векторов

Теорема 2 (нулевой вектор в системе векторов)

Если в системе векторов имеется нулевой вектор, то система линейно зависима.

 Пусть , тогда .

Получим , следовательно, по определению линейно зависимой системы векторов через нулевую линейную комбинацию (12) система линейно зависима. 

Теорема 3 (зависимая подсистема в системе векторов)

Если в системе векторов имеется линейно зависимая подсистема, то и вся система линейно зависима.

 Пусть — линейно зависимая подсистема , среди которых хотя бы одно не равно нулю:

Пусть

Значит, по определению 23, система линейно зависима. 

Любая подсистема линейно независимой системы линейно независима.

 От противного. Пусть система линейно независима и в ней имеется линейно зависимая подсистема. Но тогда по теореме 3 вся система будет также линейно зависимой. Противоречие. Следовательно, подсистема линейно независимой системы не может быть линейно зависимой. 

Геометрический смысл линейной зависимости и независимости системы векторов

Два вектора и линейно зависимы тогда и только тогда, когда .

и — линейно зависимы , что выполняется условие . Тогда , т.е. .

линейно зависимы. 

Нулевой вектор коллинеарен любому вектору

Для того чтобы два вектора были линейно независимы необходимо и достаточно, чтобы был не коллинеарен .

Для того чтобы система из трёх векторов была линейно зависима необходимо и достаточно, чтобы эти векторы были компланарными.

— линейно зависимы, следовательно, один вектор можно представить в виде линейной комбинации двух других.

, (13)

где и . По правилу параллелограмма есть диагональ параллелограмма со сторонами , но параллелограмм – плоская фигура компланарны — тоже компланарны.

— компланарны. Приложим три вектора к точке О:

C

B`

– линейно зависимы 

Нулевой вектор компланарен любой паре векторов.

Читайте также:  Как сделать фильм из фото на айфоне

Для того чтобы векторы были линейно независимы необходимо и достаточно, чтобы они были не компланарны.

Любой вектор плоскости можно представить в виде линейной комбинации любых двух неколлинеарных векторов этой же плоскости.

Любые четыре вектора в пространстве линейно зависимы.

 Рассмотрим 4 случая:

Если среди векторов есть нулевой вектор. Тогда система линейно зависима по теореме 2.

Если среди векторов имеется хотя бы 1 пара коллинеарных векторов. Тогда система линейно зависима по теоремам 5 и 3.

Если среди векторов имеется компланарная тройка векторов. Тогда система линейно зависима по теоремам 6 и 3.

Если среди векторов нет нулевых векторов, коллинеарных пар и компланарных троек. Приложим эти 4 вектора к точке О.

. Проведем плоскость через векторы , затем плоскость через векторы и плоскость через векторы . Затем проведем плоскости, проходящие через точку D, параллельные парам векторов ; ; соответственно. По линиям пересечения плоскостей строим параллелепипед OB1D1C1ABDC.

Рассмотрим OB1D1C1 – параллелограмм по построениюпо правилу параллелограмма .

Рассмотрим OADD1– параллелограмм (из свойства параллелепипеда) , тогда

EMBED Equation.3 .

По теореме 1 такие, что . Тогда , и по определению 24 система векторов линейно зависимая. 

Суммой трёх некомпланарных векторов в пространстве является вектор, совпадающий с диагональю параллелепипеда, построенного на этих трёх векторах, приложенных к общему началу, причём начало вектора суммы совпадает с общим началом этих трёх векторов.

Если в пространстве взять 3 некомпланарных вектора, то любой вектор этого пространства можно разложить в линейную комбинацию данных трёх векторов.

Определение 1. Система векторов называется линейно зависимой, если один из векторов системы можно представить в виде линейной комбинации остальных векторов системы, и линейно независимой — в противном случае.

Определение 1´. Система векторов называется линейно зависимой, если найдутся числа с 1 , с 2 , …, с k , не все равные нулю, такие, что линейная комбинация векторов с данными коэффициентами равна нулевому вектору: = , в противном случае система называется линейно независимой.

Покажем, что эти определения эквивалентны.

Пусть выполняется определение 1, т.е. один из векторов системы равен линейной комбинации остальных:

,

.

Линейная комбинация системы векторов равна нулевому вектору, причем не все коэффициенты этой комбинации равны нулю, т.е. выполняется определение 1´.

Читайте также:  Chr t code green

Пусть выполняется определение 1´. Линейная комбинация системы векторов равна , причем не все коэффициенты комбинации равны нулю, например, коэффициенты при векторе .

,

,

.

Один из векторов системы мы представили в виде линейной комбинации остальных, т.е. выполняется определение 1.

Определение 2. Единичным вектором, или ортом, называется n -мерный вектор , у которого i -я координата равна единице, а остальные — нулевые.

. (1, 0, 0, …, 0),

(0, 1, 0, …, 0),

(0, 0, 0, …, 1).

Теорема 1. Различные единичные векторы n -мерного пространства линейно независимы.

Доказательство. Пусть линейная комбинация этих векторов с произвольными коэффициентами равна нулевому вектору.

= .

Из этого равенства следует, что все коэффициенты равны нулю. Получили противоречие.

Каждый вектор n -мерного пространства ā(а 1 , а 2 , . а n ) может быть представлен в виде линейной комбинации единичных векторов с коэффициентами, равными координатам вектора

.

Теорема 2. Если системы векторов содержит нулевой вектор, то она линейно зависима.

Доказательство. Пусть дана система векторов и один из векторов является нулевым, например = . Тогда с векторами данной системы можно составить линейную комбинацию, равную нулевому вектору, причем не все коэффициенты будут нулевыми:

= .

Следовательно, система линейно зависима.

Теорема 3. Если некоторая подсистема системы векторов линейно зависима, то и вся система линейно зависима.

Доказательство. Дана система векторов . Предположим, что система линейно зависима, т.е. найдутся числа с 1 , с 2 , …, с r , не все равные нулю, такие, что = . Тогда

= .

Получилось, что линейная комбинация векторов всей системы равна , причем не все коэффициенты этой комбинации равны нулю. Следовательно, система векторов линейно зависима.

Следствие. Если система векторов линейно независима, то и любая ее подсистема также линейно независима.

Предположим противное, т.е. некоторая подсистема линейно зависима. Из теоремы следует, что вся система линейно зависима. Мы пришли к противоречию.

Теорема 4 (теорема Штейница). Если каждый из векторов является линейной комбинацией векторов и m > n , то система векторов линейно зависима.

Следствие. В любой системе n -мерных векторов не может быть больше чем n линейно независимых.

Доказательство. Каждый n -мерный вектор выражается в виде линейной комбинации n единичных векторов. Поэтому, если система содержит m векторов и m > n , то, по теореме, данная система линейно зависима.

Ссылка на основную публикацию
Одноклассники моя страница щербаков
Одноклассники моя страница — это ваш аккаунт в социальной сети Одноклассники. Открыть мою страницу в Одноклассниках можно напрямую по ссылке...
Не удалось вычислить задержку проверьте интернет соединение
Задержка в Доте 2: что делать? Проблемы с интернетом в различных регионах всегда остаются актуальными. Речь идет даже не о...
Не удалось выполнить вход play market
Ошибка сервисов Гугл – не самое приятное, но довольно распространенное уведомление, которое чаще всего получают владельцы телефонов Meizu M5, Huawei,...
Одноклассники найти свою страницу по номеру телефона
Зачем нужен номер телефона? Когда твоя страница привязана к номеру мобильного телефона, ты всегда сможешь восстановить доступ, если забудешь пароль...
Adblock detector