Эквиваленция в логике раскрытие

Эквиваленция в логике раскрытие

Логическое равенство (эквивалентность) образуется соединением двух высказываний в одно с помощью оборота речи «…тогда и только тогда, когда …».

Логическая операция эквивалентности «А тогда и только тогда, когда В» обозначается А≡В, А

В и выражается с помощью логической функции F10, которая задаётся соответствующей таблицей истинности (таблица 16).

Таблица 16 – Таблица истинности логической функции эквивалентности

Составное высказывание, образованное с помощью логической операции эквивалентности, истинно тогда и только тогда, когда оба высказывания одновременно либо ложны, либо истинны.

Рассмотрим, например, два высказывания: А = «Компьютер может производить вычисления» и В = «Компьютер включён».

Составное высказывание, полученное с помощью операции эквивалентности, истинно, когда оба высказывания либо истинны, либо ложны:

«Компьютер может производить вычисления тогда и только тогда, когда компьютер включён».

«Компьютер не может производить вычисления тогда и только тогда, когда компьютер не включён».

Составное высказывание, полученное с помощью операции эквивалентности, ложно, когда одно высказывание истинно, а другое — ложно:

«Компьютер может производить вычисления тогда и только тогда, когда компьютер не включён».

«Компьютер не может производить вычисления тогда и только тогда, когда компьютер включён».

Логические законы и правила преобразования логических выражений

Законы логики отражают наиболее важные закономерности логического мышления. В алгебре высказываний законы логики записываются в виде формул, которые позволяют выполнять эквивалентные преобразования логических выражений.

Для логических величин обычно используются три операции:

Конъюнкция – логическое умножение (И) – and, &, Ʌ.

Дизъюнкция – логическое сложение (ИЛИ) – or, |, v.

Логическое отрицание (НЕ) – not, ¬.

Всякое высказывание тождественно самому себе:

Высказывание не может быть одновременно истинным и ложным. Если высказывание А истинно, то его отрицание не А должно быть ложным. Следовательно, логическое произведение высказывания и его отрицания должно быть ложно:

А & Ā=0

Закон исключённого третьего

Высказывание может быть либо истинным, либо ложным – третьего не дано. Это означает, что результат логического сложения высказывания и его отрицания всегда принимает значение «истина»:

Читайте также:  Как узнать потраченный трафик на компьютере

Закон двойного отрицания

Если дважды отрицать некоторое высказывание, то в результате мы получим исходное высказывание:

=А.

Законы де Моргана (общей инверсии)

= Ā & ;

= Ā .

Важное значение для выполнения преобразований логических выражений имеют законы алгебраических преобразований. Многие из них имеют аналоги в обычной алгебре.

Закон коммутативности (переместительный)

В обычной алгебре слагаемые и множители можно менять местами. В алгебре высказываний можно менять местами логические переменные при операциях логического умножения и логического сложения:

Логическое умножение А & В = В & А.

Закон ассоциативности (сочетательный)

Если в логическом выражении используются только операция логического умножения или только операция логического сложения, то можно пренебрегать скобками или произвольно их расставлять:

Логическое умножение Логическое сложение

Закон дистрибутивности (распределительный)

В отличие от обычной алгебры, где за скобки можно выносить только общие множители, в алгебре высказываний можно выносить за скобки как общие множители, так и общие слагаемые:

Дистрибутивность умножения относительно сложения

Дистрибутивность сложения относительно умножения

ab+ ас = а(b+с) — в алгебре

(А & В) v (A & С) =А & (B v С)

(A v В) & (A v С) = A v (B & С)

Рассмотрим в качестве примера применения законов логики преобразование логического выражения. Пусть нам необходимо упростить логическое выражение (А & В) v (А & ).

Воспользуемся законом дистрибутивности и вынесем за скобки А:

(А & В) v (А & ) = А & (B v ).

По закону исключённого третьего В v =1, следовательно:

А&(В v )=А & 1=А.

Эквиваленция — это логическая операция, принятая в формализованных языках (см. Язык формализованный) для образования сложных высказываний (формул) из элементарных (простых) высказываний (см. Высказывание) и по смыслу равнозначная строгому условию «если…, то…», принятому в естественном языке (см. Язык). Эквиваленция читается: «A эквивалентно B», или «A равнозначно B», или «A то же самое, что B», или «A, если и только если B», или «A, тогда и только тогда, когда B»; записывается: А ≡ В, другое обозначение эквиваленции: AB (применяются также стрелки другой формы, но всегда указывающие на соотношение равнозначности); другие названия эквиваленции: эквивалентность, равнозначность.

Понятие эквиваленции сформировалось в процессе обособления языка логики и его последующей символизации (см. Логика символическая). В классической логике (см. Логика), формальной логике (см. Логика формальная), языках формальных теорий (см. Формализация) и языках программирования эквиваленция составляет одну из пяти наиболее распространённых логических связок, или логических операций (см. Логические операции), наряду с конъюнкцией (см. Конъюнкция), дизъюнкцией (см. Дизъюнкция), импликацией (см. Импликация) и отрицанием (см. Отрицание).

Рассмотрим составное высказывание, которое образуется из двух элементарных при помощи логической связки «… тогда и только тогда, когда …».

Например, пусть даны высказывания А: «Число 129 делится на 3» и В: «Сумма цифр числа 129 делится на 3». Тогда составное высказывание «Число 129 делится на 3 тогда и только тогда, когда сумма цифр числа 129 делится на 3» имеет структуру «А тогда и только тогда, когда В» и называется эквиваленцией.

Пусть даны высказывания А и В.

Эквиваленцией высказываний А и В называется высказывание, которое истинно, когда оба высказывания А и В истинны или оба ложны одновременно.

Эквиваленция высказываний А и В обозначается: А В. Читаем: «Эквиваленция высказываний А и В» или «А тогда и только тогда, когда В» («А в том и только в том случае, если В»).

Определение эквиваленции высказываний А и В представим в таблице.

Наиме­но­ва­ние: Эквиваленция (образовано от латинского слова: aequivalens — равнозначный, равноценный, равносильный).
Опреде­ле­ние: Эквиваленция — это логическая операция, принятая в формализованных языках для образования сложных высказываний из простых и по смыслу равнозначная строгому условию «если…, то…», принятому в естественном языке.
Раздел: Концепты Концепты философского дискурса Концепты научного дискурса
Дискурс: Философия
Субдис­курс: Семантика Логическая семантика
Логика Логика формальная Логика символическая Логика высказываний
Связан­ные концепты: Логические операции Высказывание Конъюнкция Дизъюнкция Импликация Отрицание
Текст статьи: Авторы: Ф. И. Голдберг. Подготовка элект­рон­ной публи­ка­ции и общая редакция: Центр гума­нитар­ных техно­логий. Ответст­вен­ный редактор: А. В. Агеев . Инфор­ма­ция на этой стра­нице пери­оди­чески обнов­ля­ется. Послед­няя редакция: 08.02.2020.
Читайте также:  Как полностью удалить driverpack solution с компьютера
А В АВ
и и и
и л л
л и л
л л и

1. Составное высказывание «Число 18 чётно тогда и только тогда, когда 18M2» истинно, т.к. оба элементарные высказывания «Число 18 чётно» и «18M2» истинны.

2. Составное высказывание «Число 195 делится на 3 тогда и только тогда, когда 195 делится на 9» будет ложным, т.к. оно представляет собой эквиваленцию истинного высказывания «Число 195 делится на 3» и ложного высказывания «Число 195 делится на 9».

3. Составное высказывание «Число 12 простое в том случае, если 12 двузначное число» ложно, т.к. представляет собой эквиваленцию ложного высказывания «Число 12 простое» и истинного высказывания «12 двузначное число».

4. Составное высказывание «12>15 тогда и только тогда, когда 15 15» и ложного высказывания «15

Например, определим порядок действий в составных высказываниях:

а) АB C; б) A BCD; в) AB C; г) ABC.

а) Для высказывания АB C порядок такой: 1) B C; 2) АB C.

б) Для высказывания A BCD порядок будет следующий: 1)BC; 2)A BC; 3) A BCD.

в) В высказывании АB C выполняем: 1) B C; 2) АB C.

г) В высказывании ABC выполняем: 1) BC; 2) ABC.

Не нашли то, что искали? Воспользуйтесь поиском:

Ссылка на основную публикацию
Что такое django python
Django Тип каркас веб-приложений Автор РазработчикDjango Software FoundationНаписана наPython[2]Интерфейсвеб-интерфейсОперационная системакроссплатформенностьПервый выпуск2005[1]Последняя версия 3.0.4 ( 4 марта2020 ) [3] Лицензиямодифицированная лицензия...
Чем чистить датчик абсолютного давления
ВСЁ СВОИМИ РУКАМИ 12.06.2018 . . После покупки Шевроле Лачетти оказалось, что эта первая моя машина, на которой был установлен...
Чем хорош увлажнитель воздуха отзывы
у нас на работе стоял, попеременно двигали каждый к себе поближе, ибо да, с ним как-то лучше, мне лично глазам...
Что такое hangouts и для чего
Хэкгаутс что это за программа на телефоне Добрый день, друзья. Для смартфонов на разных платформах существуют тысячи программ. Сейчас мы...
Adblock detector