Формула для вычисления векторного произведения векторов

Формула для вычисления векторного произведения векторов

Векторное произведение двух векторов в трёхмерном евклидовом пространстве — вектор, перпендикулярный обоим исходным векторам, длина которого равна площади параллелограмма, образованного исходными векторами, а выбор из двух направлений определяется так, чтобы тройка из по порядку стоящих в произведении векторов и получившегося вектора была правой [⇨] . Векторное произведение коллинеарных векторов (в частности, если хотя бы один из множителей — нулевой вектор) считается равным нулевому вектору.

Таким образом, для определения векторного произведения двух векторов необходимо задать ориентацию пространства, то есть сказать, какая тройка векторов является правой, а какая — левой. При этом не является обязательным задание в рассматриваемом пространстве какой-либо системы координат. В частности, при заданной ориентации пространства результат векторного произведения не зависит от того, является ли рассматриваемая система координат правой или левой. При этом формулы выражения координат векторного произведения через координаты исходных векторов в правой и левой ортонормированной прямоугольной системе координат отличаются знаком.

Векторное произведение не обладает свойствами коммутативности и ассоциативности. Оно является антикоммутативным и, в отличие от скалярного произведения векторов, результат является опять вектором.

Полезно для «измерения» перпендикулярности векторов — модуль векторного произведения двух векторов равен произведению их модулей, если они перпендикулярны, и уменьшается до нуля, если векторы коллинеарны.

Широко используется во многих технических и физических приложениях. Например, момент импульса и сила Лоренца математически записываются в виде векторного произведения.

Содержание

История [ править | править код ]

Векторное произведение было введено У. Гамильтоном в 1846 году [1] одновременно со скалярным произведением в связи с кватернионами — соответственно, как векторная и скалярная часть произведения двух кватернионов, скалярная часть которых равна нулю [2] .

Определение [ править | править код ]

Векторным произведением вектора a → <displaystyle <vec >> на вектор b → <displaystyle <vec >> в трёхмерном евклидовом пространстве называется вектор c → <displaystyle <vec >> , удовлетворяющий следующим требованиям:

Читайте также:  Промокод дочки и сыночки 15 процентов

  • длина вектора c → <displaystyle <vec >>равна произведению длин векторов a → <displaystyle <vec >>и b → <displaystyle <vec >>на синусугла между ними (т.е. площади параллелограмма, образованного векторами a → <displaystyle <vec >>и b → <displaystyle <vec >>);
  • вектор c → <displaystyle <vec >>ортогонален каждому из векторов a → <displaystyle <vec >>и b → <displaystyle <vec >>;
  • вектор c → <displaystyle <vec >>направлен так, что тройка векторов a → , b → , c → <displaystyle <vec >,<vec >,<vec >>является правой
  • [⇨] .

c → = [ a → b → ] = [ a → , b → ] = a → × b → = a → ∧ b → . <displaystyle <vec >=[<vec ><vec >]=[<vec >,;<vec >]=<vec > imes <vec >=<vec >wedge <vec >.>

Замечания [ править | править код ]

В качестве определения можно использовать описанное далее выражение векторного произведения в координатах в правой (или левой) прямоугольной системе координат.

Также в качестве исходного определения может быть взят набор алгебраических свойств векторного произведения.

Правые и левые тройки векторов в трёхмерном евклидовом пространстве [ править | править код ]

Рассмотрим упорядоченную тройку некомпланарных (линейно независимых) векторов a → , b → , c → <displaystyle <vec >,<vec >,<vec >> в трёхмерном евклидовом пространстве. В ориентированном пространстве такая тройка векторов будет либо «правой», либо «левой».

Геометрическое определение [ править | править код ]

Совместим начала векторов в одной точке. Упорядоченная тройка некомпланарных векторов a → , b → , c → <displaystyle <vec >,<vec >,<vec >> в трёхмерном пространстве называется правой, если с конца вектора c → <displaystyle <vec >> кратчайший поворот от вектора a → <displaystyle <vec >> к вектору b → <displaystyle <vec >> виден наблюдателю против часовой стрелки. И наоборот, если кратчайший поворот виден по часовой стрелке, то тройка называется левой.

Определение с помощью руки [ править | править код ]

Другое определение связано с правой рукой человека, откуда и берётся название. На рисунке тройка векторов a → <displaystyle <vec >> , b → <displaystyle <vec >> , a → × b → <displaystyle <vec > imes <vec >> является правой.

Читайте также:  Большая диагональ правильного шестиугольника

Алгебраическое определение [ править | править код ]

Существует также аналитический способ определения правой и левой тройки векторов, который требует задания в рассматриваемом пространстве правой или левой системы координат, причём не обязательно прямоугольной и ортонормированной.

Нужно составить матрицу, первой строкой которой будут координаты вектора a → <displaystyle <vec >> , второй — вектора b → <displaystyle <vec >> , третьей — вектора c → <displaystyle <vec >> . Затем, в зависимости от знака определителя этой матрицы, можно сделать следующие выводы:

  • Если определитель положителен, то тройка векторов имеет ту же ориентацию, что и система координат.
  • Если определитель отрицателен, то тройка векторов имеет ориентацию, противоположную ориентации системы координат.
  • Если определитель равен нулю, то векторы компланарны (линейно зависимы).

Замечания [ править | править код ]

Определения «правой» и «левой» тройки векторов зависят от ориентации пространства, но не требуют задания в рассматриваемом пространстве какой-либо системы координат, как и не требует этого определение самого векторного произведения. При этом формулы выражения координат векторного произведения через координаты исходных векторов будут отличаться знаком в правой и левой прямоугольной системе координат.

Все правые между собой (и левые между собой) тройки векторов называются одинаково ориентированными.

При заданной ориентации пространства система координат называется правой (левой), если тройка из векторов с координатами ( 1 , 0 , 0 ) <displaystyle (1,0,0)> , ( 0 , 1 , 0 ) <displaystyle (0,1,0)> , ( 0 , 0 , 1 ) <displaystyle (0,0,1)> является правой (левой).

Геометрическое определение и определение с помощью руки сами задают ориентацию пространства. Алгебраическое определение задаёт способ разбить тройки некомпланарных векторов на два класса одинаково ориентированных векторов, но оно не задаёт ориентацию пространства, а использует уже заданную — ту, на основании которой данная система координат считается правой или левой. При этом, если ориентация системы координат неизвестна, можно сравнивать знак определителя со знаком определителя другой тройки некомпланарных векторов, ориентация которой известна — если знаки совпадают, то тройки одинаково ориентированы, если знаки противоположны — тройки ориентированы противоположно.

Ссылка на основную публикацию
Умные часы для детей xiaomi mi bunny
Детские смарт-часы Xiaomi, изготовленные из прочного пластика различных оттенков, предназначены для отображения текущего времени и дополнительной информации (например, о пройденной...
Телефон с камерой лучше чем у айфона
В России начинаются продажи смартфонов iPhone XS и iPhone XS Max. Цены в этот раз просто заоблачные — средняя (256...
Телефон с горизонтальной камерой
Сегодня мало кого можно удивить телефоном с двумя основными камерами. А вот сдвоенную фронтальную камеру встретишь далеко не в каждом...
Улучшить качество связи мтс
Усилитель сигнала МТС– специальный прибор, который необходим для того, чтобы предоставлять более сильный сигнал сотовой связи. Невозможно звонить или отправлять...
Adblock detector