Построить точку, симметричную точке A(x, y) относительно:
а) оси Ox,
б) оси Oy,
в) начала координат.
Две точки M1 и M2 называются симметричными относительно прямой, если отрезок M1M2 перпендикулярен этой прямой, причем его середина лежит на этой прямой.
Две точки M1 и M2 называются симметричными относительно точки O, если точка O является серединой отрезка M1M2.
а) Точка B, симметричная с точкой A(x, y) относительно оси Ox, имеет абсциссу такую же, как и точка A, а ординату, равную по абсолютной величине ординате точки A, но противоположную ей по знаку. Значит, точка B имеет координаты x и —y: B(x, —y) (см. рисунок).
б) Точка C, симметричная с точкой A(x, y) относительно оси Oy, будет иметь ординату такую же, как и точка A, а абсцисса точки C будет по абсолютной величине равна абсциссе точки A, но противоположна ей по знаку. Значит, точка C имеет координаты —x и y: C(-x, y) (см. рисунок)
в) Точка D, симметричная точке A(x, y) относительно начала координат, будет иметь абсциссу и ординату, равные по абсолютной величине абсциссе и ординате точки A, но противоположные им по знаку, т. е. координаты точки D будут равны —x и —y: D(-x, —y) (см. рисунок).
Выясним, как связаны между собой координаты симметричных точек и рассмотрим на примерах, как найти координаты точки, симметричной данной точке.
По формулам координаты середины отрезка получаем связь координат этих точек:
Координаты точек, симметричных относительно начала координат — точки O(0;0) — противоположные числа.
То есть координаты точки B, симметричной точке A относительно начала координат, отличаются от координат точки A только знаками:
A(a;b) и B(-a;-b) — точки, симметричные относительно начала координат.
1) Найти точку, симметричную точке A(-3;7) относительно точки F(5; 11).
Пусть B(xB;yB) — точка, симметричная точке A относительно точки F. Тогда
2) Найти точку, симметричную точке C (9;-4) относительно начала координат.
Точка D, симметричная точке C относительно начала координат, имеет координаты, противоположные координатам точки C: D(-9;4).
II. Две точки A(xA;yA) и B(xB;yB) симметричны относительно прямой g, если эта прямая проходит через середину отрезка AB и перпендикулярна к нему.
Таким образом, чтобы найти координаты точки B, симметричной данной точке A относительно прямой g, можно:
- Написать уравнение прямой f, перпендикулярной прямой g, проходящей через точку A.
- Найти точку O пересечения прямых f и g.
- Зная конец отрезка A и его середину O найти другой конец B.
Найти точку, симметричную точке A(-4;5) относительно прямой y=2x+4.
Уравнение прямой, перпендикулярной данной прямой y=2x+4, ищем в виде y=-0,5x+b. Так как эта прямая проходит через точку A, координаты A удовлетворяют уравнению прямой:
Таким образом, y=-0,5x+3 — прямая, перпендикулярная прямой y=2x+4 и проходящая через точку A.
Значит точка B(3,2;1,4) симметрична точке A(-4;5) относительно прямой y=2x+4.
Координаты точек, симметричных относительно осей координат и биссектрис координатных четвертей — прямых y=x и y=-x — находятся проще:
Точки A и A1 называется симметричными относительно точки О,
если O 
AA1 и AO = OA1.
Точка, симметричная точке O, есть сама точка O.
Симметрия относительно точки O (= центральная симметрия) — преобразование фигуры F в фигуру F1, при котором каждая ее точка X переходит в точку X1, симметричную относительно данной точки O — центра симметрии.
! Симметрия относительно точки является движением.
Если симметрия относительно точки O переводит фигуру F в себя, то эта фигура называется центрально — симметричной.
Параллелограмм — центрально — симметричная фигура.
Его центр симметрии — точка пересечения диагоналей.
Правило 2
Точки A и A1 называются симметричными относительно прямой l, если отрезок AA1 ? l и AA1 делится прямой l пополам. Если точка X l, то симметричная ей точка есть сама точка X.
Симметрия относительно прямой l (= осевая симметрия) — преобразование фигуры F в фигуру F1, при котором каждая ее точка X переходит в точку X1, симметричную относительно данной прямой l — оси симметрии.
! Симметрия относительно прямой является движением.
Если симметрия относительно прямой l переводит фигуру F в себя, то эта фигура называется симметричной относительно прямой l.
Ось симметрии ромба — прямые, на которых лежат его диагонали.
