Что такое конечное множество

Что такое конечное множество

конечное множество — — [http://www.iks media.ru/glossary/index.html?glossid=2400324] Тематики электросвязь, основные понятия EN finite set … Справочник технического переводчика

МНОЖЕСТВО — МНОЖЕСТВО, множества, ср. (книжн.). 1. только ед. Неопределенно большое количество, число чего нибудь. Множество рабочих. Множество фактов. «Я слышал в жизни множество отличнейших певцов.» Некрасов. 2. Совокупность элементов, выделенных в… … Толковый словарь Ушакова

Множество второй категории — Курсив обозначает ссылку на этот словарь # А Б В Г Д Е Ё Ж З И Й К Л М Н О П Р С Т У Ф Х Ц Ч Ш … Википедия

Множество первой категории — Курсив обозначает ссылку на этот словарь # А Б В Г Д Е Ё Ж З И Й К Л М Н О П Р С Т У Ф Х Ц Ч Ш … Википедия

Множество — У этого термина существуют и другие значения, см. Множество (значения). Запрос «Целое» перенаправляется сюда; о типе данных в программировании см. Целое (тип данных). Множество одно из ключевых понятий математики, в частности, теории… … Википедия

Конечное — то, что имеет предел, границу, конец. В философии понятие К. используется как категория, характеризующая всякий определённый, ограниченный объект (вещь, процесс, явление, состояние, свойство и т. д.). Каждый познаваемый объект… … Большая советская энциклопедия

Разрешимое множество — В теории множеств, теории алгоритмов и математической логике, множество натуральных чисел называется разрешимым или рекурсивным, если существует алгоритм, который, получив на вход любое натуральное число, через конечное число шагов завершается и… … Википедия

Дескриптивное множество — Дескриптивное множество конечное множество, каждому элементу которого поставлено в соответствие неотрицательное число («вес»)[1]. В случае фиксированного для определённого исследования элементов дескриптивного множества, можно использовать… … Википедия

Перечислимое множество — Не следует путать с счётным множеством. В теории множеств, теории алгоритмов и математической логике, перечислимое множество (эффективно перечислимое, рекурсивно перечислимое, полуразрешимое множество[1]) множество конструктивных объектов… … Википедия

Арифметическое множество — В теории множеств и математической логике, множество натуральных чисел называется арифметическим, если оно может быть определено формулой в языке арифметики первого порядка, то есть если существует такая формула с одной свободной переменной что… … Википедия

Множество – совокупность любых объектов. Множества обозначают большими буквами латинского алфавита – от A до Z.

Основные числовые множества: множество натуральных чисел и множество целых чисел, всегда обозначаются одними и теми же буквами:

N – множество натуральных чисел

Z – множество целых чисел

Элемент множества – это любой объект, входящий в состав множества. Принадлежность объекта к множеству обозначается с помощью знака ∈ . Запись

Читайте также:  Как удалить все лишнее с компьютера

читается так: 5 принадлежит множеству Z или 5 – элемент множества Z .

Множества делятся на конечные и бесконечные. Конечное множество – множество, содержащее определённое (конечное) количество элементов. Бесконечное множество – множество, содержащее бесконечно много элементов. К бесконечным множествам можно отнести множества натуральных и целых чисел.

Для определения множества используются фигурные скобки, в которых через запятую перечисляются элементы. Например, запись

означает, что множество L состоит из четырёх чётных чисел.

Термин множество употребляется независимо от того, сколько элементов оно содержит. Множества не содержащие ни одного элемента называются пустыми.

Подмножество

Подмножество – это множество, все элементы которого, являются частью другого множества.

Визуально продемонстрировать отношение множества и входящего в него подмножества можно с помощью кругов Эйлера. Круги Эйлера – это геометрические схемы, помогающие визуализировать отношения различных объектов, в нашем случае, множеств.

Рассмотрим два множества:

Каждый элемент множества L принадлежит и множеству M, значит, множество L является подмножеством множества M. Такое соотношение множеств обозначают знаком ⊂ :

Запись LM читается так: множество L является подмножеством множества M .

Множества, состоящие из одних и тех же элементов, независимо от их порядка, называются равными и обозначаются знаком = .

Рассмотрим два множества:

Так как оба множества состоят из одних и тех же элементов, то L = M.

Пересечение и объединение множеств

Пересечение двух множеств – это совокупность элементов, принадлежащих каждому из этих множеств, то есть их общая часть. Пересечение обозначается знаком ∩ .

Запись LM читается так: пересечение множеств L и M .

Из данного примера следует, что пересечением множеств называется множество, которое содержит только те элементы, которые встречаются во всех пересекающихся множествах.

Объединением двух множеств называется множество, содержащее все элементы исходных множеств в единственном экземпляре, то есть если один и тот же элемент встречается в обоих множествах, то в новое множество этот элемент будет включён только один раз. Объединение обозначается знаком ∪ .

Запись LM читается так: объединение множеств L и M .

При объединении равных множеств объединение будет равно любому из данных множеств:

Мощность (кардинальное число) множества — такое свойство множества, которое остается после абстрагирования от качества (состава) его элементов (определение мощности по Кантору). Мощность множества А обозначается | А | или gard A.

Любые два множества А и В называются равномощными (эквивалентными), если между их элементами может быть установлено взаимно однозначное соответствие, т.е. существует взаимно однозначная функция f: A → B с областью определения А и множеством (областью) значений В. Таким образом, можно сказать, что мощность – это то общее, что есть у всех эквивалентных множеств. Понятие мощности введено Кантором для количественного сравнения различных множеств. С точки зрения правил сравнения (выявления общего), все множества делятся на конечные и бесконечные. В свою очередь бесконечные множества делятся на счетные и континуальные .

Читайте также:  Где параметры просмотра в режиме совместимости

Конечное множество – множество, содержащее конечное число элементов; мощность n-элементного множества А равна числу его элементов, т.е. | А | = n; множество, не содержащее ни одного элемента, называется пустым множеством и обозначается Æ; пустое множество является подмножеством любого множества и имеет нулевую мощность (| Æ | = 0). Из определения конечного множества следует – любые два конечные множества с одинаковым (равным) числом элементов эквивалентны (между ними легко установить взаимно однозначное соответствие – для этого достаточно, например, ввести нумерацию элементов).

Одна из особенностей конечного множества заключается в том, что его всегда можно задать путем перечисления элементов. Ясно, что это не всегда удобно (когда число элементов велико), но довольно часто другие способы просто неприемлемы. Последнее относится, например, к ситуации, когда нужно описать подмножество студентов, объединенных в определенную группу (поток). Очевидно, в этом случае придумать какое-то свойство или порождающую функцию, позволяющие однозначно выделить группу студентов из всего множества студентов вуза (факультета), практически невозможно (да в этом и нет необходимости – достаточно составить список студентов).

Бесконечное множество — всякое множество А, имеющееправильную часть В, равномощную всему ( целому ) множеству А , т. е. В Ì А и |В| = |А|. Так, например, множество М квадратов натуральных чисел является правильной частью всего множества N натуральных чисел (взаимно однозначное соответствие между этими множествами очевидно); следовательно, оба эти множества обладают одинаковой мощностью и подпадают под определение бесконечных множеств. В то же время это определение не подходит к конечным множествам, так как мощность (число элементов) правильной части любого конечного множества всегда меньше мощности полного множества.

Счетное множество — любое бесконечное множество, равномощное множеству N натуральных чисел. Мощность счетного множества принято обозначать (алеф — нуль). Отличительная особенность счетного множества – все его элементы могут быть пронумерованы. И хотя любое конечное множество также обладает этой особенностью, оно, по определению, к счетным множествам не относится. Примеры часто встречающихся счетных множеств: любые бесконечные подмножества множества N натуральных чисел; множества целых и рациональных чисел и их бесконечные подмножества (одним из таких подмножеств является, в частности, множество N );

множества, составленные из элементов бесконечных числовых последовательностей как функций натурального аргумента (если эти множества после исключения одинаковых элементов не трансформируются в конечные ).

Замечание. С возможностью нумерации элементов счетного множества связан тот факт, что довольно часто такого рода множества описываются посредством перечисления элементов. Это характерно, например, при задании (описании) бесконечных числовых последовательностей и рядов, когда по записанным нескольким первым членам последовательности (ряда) видна закономерность их изменения и, как следствие, запись последующих членов с помощью выявленной закономерности не вызывает затруднений. Простейшей иллюстрацией к вышесказанному могут служить применяемые на практике описания множеств натуральных и целых чисел, а именно:

Читайте также:  Как войти в старый аккаунт скайп

Континуальное множество — любое бесконечное множество, равномощное множеству R действительных чисел. Говорят, что всякое континуальное множество имеет мощность континуума. Такой мощностью обладают, например:

множество всех подмножеств всякого счетного множества;

множество точек, принадлежащих некоторой прямой или поверхности;

множество всех действительных чисел некоторого интервала ( a,b ) или отрезка [ a,b ] (см. пример1.2).

В отличие от счетного множества,элементы континуального множества не могут быть пронумерованы, т.е. множество-континуум несчетно. Справедливость данного утверждения подтверждается теоремой Кантора, одно из доказательств которой представлено ниже.

Теорема Кантора. Множество действительных чисел отрезка [0,1] несчетно.

→ Докажем теорему методом от противного. Для этого предположим, что множество счетно, т.е. может быть пронумеровано. Расположим все числа, изображенные бесконечными десятичными дробями, в порядке их нумерации:

Рассмотрим любую бесконечную дробь , у которой . Эта дробь не может войти в указанную последовательность, так как от первого числа она отличается первой цифрой, от второго — второй цифрой и т.д.

Геометрическая интерпретация множеств. Для геометрического (графического) изображения множеств и их свойств (связей между ними) довольно часто используются так называемые диаграммы Эйлера-Венна, представляющие собой в общем случае некоторый прямоугольник на плоскости и вложенные в него круги.

Так, если в рамках конкретно решаемой задачи рассматривается некая система S = <A,B,C,…,G>частных множеств, то кругами (круги Эйлера), находящимися внутри прямоугольника, изображаются любые множества из S, а прямоугольником — некоторое фиксированное универсальное множество (множество-универсум) U, включающее в себя в качестве подмножеств всю систему S частных множеств, т.е.

" МÎ S : M Ì U. При этом каждое множество мыслится как множество точек, принадлежащих изображающему его кругу Эйлера.

Замечание. Ясно, что множество-универсум U должно быть либо задано, либо очевидно из контекста задачи. Так, для S = <A, B, С >, где

в качестве универсального множества можно использовать как весь латинский алфавит, так и множество U = <a,b,c,d,e,f,g>. Круги, иллюстрирующие множества А и В на рисунке, пересекаются, так как эти множества имеют общие элементы.

Геометрическая иллюстрация множеств

Не нашли то, что искали? Воспользуйтесь поиском:

Лучшие изречения: Для студента самое главное не сдать экзамен, а вовремя вспомнить про него. 10676 — | 7830 — или читать все.

Ссылка на основную публикацию
Что такое django python
Django Тип каркас веб-приложений Автор РазработчикDjango Software FoundationНаписана наPython[2]Интерфейсвеб-интерфейсОперационная системакроссплатформенностьПервый выпуск2005[1]Последняя версия 3.0.4 ( 4 марта2020 ) [3] Лицензиямодифицированная лицензия...
Чем чистить датчик абсолютного давления
ВСЁ СВОИМИ РУКАМИ 12.06.2018 . . После покупки Шевроле Лачетти оказалось, что эта первая моя машина, на которой был установлен...
Чем хорош увлажнитель воздуха отзывы
у нас на работе стоял, попеременно двигали каждый к себе поближе, ибо да, с ним как-то лучше, мне лично глазам...
Что такое hangouts и для чего
Хэкгаутс что это за программа на телефоне Добрый день, друзья. Для смартфонов на разных платформах существуют тысячи программ. Сейчас мы...
Adblock detector