Числовые ряды признак даламбера

Числовые ряды признак даламбера

Теоретические основы

Признак признак Даламбера, как и признак сравнения, радикальный признак Коши и интегральный признак Коши, является достаточным признаком сходимости рядов, так как исследование ряда с помощью этого признака даёт однозначный ответ на вопрос о том, сходится ряд или расходится. Признак Даламбера предполагает найти предел отношения некоторого ряда к предыдущему члену того же ряда. Признак Даламбера, скорее всего, работает, если в выражение ряда входят:

  • число в степени,
  • факториал,
  • цепочки множителей один-три-пять-семь и так далее.

Основной фигурант признака Даламбера — дробь, в числителе которой некоторый член ряда, а в знаменателе — предыдущий член того же ряда. Вычисляется предел этого отношения. Впрочем, перейдём к научной форме изложения рассматриваемого признака.

Теорема. Пусть для ряда с положительными членами при существует предел отношения (n+1)-го члена к предыдущему ему n-му члену, то есть

  • а) если предел отношения меньше единицы (), то ряд сходится;
  • б) если предел отношения больше единицы (), то ряд расходится;
  • в) если предел отношения равен единице (), то вопрос о сходимости ряда остаётся нерешённым.

Решаем примеры

Пример 1. Исследовать сходимость ряда с общим членом

Решение. Найдём отношение

Так как , а , то

Пример 2. Исследовать сходимость ряда

Решение. Общий член данного ряда

а следующий за ним член

Находим их отношение:

Пример 3. Исследовать сходимость ряда с общим членом

Используя признак Даламбера, получаем

Таким образом, получилась неопределённость вида ∞/∞. Раскроем её с помощью правила Лопиталя:

Поскольку l = 1, о сходимости ряда ничего определённого сказать нельзя. Необходимо дополнительное исследование. Сравним данный ряд с гармоническим. Так как при n > 1 получается ln (n + 1) 1/(n + 1), т.е. члены данного ряда, начиная со второго, больше соответствующих членов расходящегося гармонического ряда, а поэтому данный ряд также расходится.

Пример 4. Исследовать сходимость ряда с общим членом

Решение. Так как

Признак Даламбера не решает вопроса о сходимости. Продолжим исследование. Поскольку n

Пример 5. Исследовать сходимость ряда

Читайте также:  Как поменять пароль в одноклассниках если забыл

Решение. Запишем n-й член ряда:

Решение. Запишем n+1-й член ряда:

Находим предел их отношения:

Предел отношения больше единицы, поэтому о сходимости не может быть и речи.

Пример 6. Исследовать сходимость ряда

Решение. Запишем n-й член ряда:

Решение. Запишем n+1-й член ряда:

Находим предел их отношения:

Получили значение меньше единицы и, значит, установили сходимость.

Пример 7. Исследовать сходимость ряда

Решение. Запишем n-й член ряда:

Решение. Запишем n+1-й член ряда:

Находим предел их отношения:

Предел отношения членов рядов меньше единицы, поэтому констатируем сходимость.

Перед началом работы с этой темой советую посмотреть раздел с терминологией для числовых рядов. Особенно стоит обратить внимание на понятие общего члена ряда. Если у вас есть сомнения в правильности выбора признака сходимости, советую глянуть тему "Выбор признака сходимости числовых рядов".

Признак Д’Аламбера (или признак Даламбера) используется для исследования сходимости рядов, общий член которых строго больше нуля, т.е. $u_n > 0$. Такие ряды называют строго положительными. В стандартных примерах признак Д’Аламбера используют в предельной форме.

Признак Д’Аламбера (в предельной форме)

Формулировка довольно проста, но остаётся открытым следующий вопрос: что будет, если $L=1$? Ответа на данный вопрос признак Д’Аламбера дать не в состоянии. Если $L=1$, то ряд может как сходиться, так и расходиться.

Чаще всего в стандартных примерах признак Д’Аламбера применяется, если в выражении общего члена ряда присутствуют многочлен от $n$ (многочлен может быть и под корнем) и степень вида $a^n$ или $n!$. Например, $u_n=frac<5^ncdot(3n+7)><2n^3-1>$ (см. пример №1) или $u_n=frac<sqrt<4n+5>><(3n-2)!>$ (см. пример №2). Вообще, для стандартного примера наличие $n!$ – это своеобразная "визитная карточка" признака Д’Аламбера.

Что обозначает выражение "n!"? показатьскрыть

Запись "n!" (читается "эн факториал") обозначает произведение всех натуральных чисел от 1 до n, т.е.

$$ n!=1cdot2cdot 3cdot ldotscdot n $$

Читайте также:  Санлайт подарок ко дню рождения по коду

По определению полагается, что $0!=1!=1$. Для примера найдём 5!:

$$ 5!=1cdot 2cdot 3cdot 4cdot 5=120. $$

Кроме того, нередко признак Д’Аламбера используют для выяснения сходимости ряда, общий член которого содержит произведение такой структуры: $u_n=frac<3cdot 5cdot 7cdotldotscdot(2n+1)><2cdot 5cdot 8cdotldotscdot(3n-1)>$.

Для вычисления пределов будем использовать методы, изложенные в темах "Пределы с иррациональностями", "Предел отношения двух многочленов", а также в теме "Второй замечательный предел".

Так как нижний предел суммирования равен 1, то общий член ряда записан под знаком суммы: $u_n=frac<5^ncdot(3n+7)><2n^3-1>$. Так как при $n≥ 1$ имеем $3n+7 > 0$, $5^n>0$ и $2n^3-1 > 0$, то $u_n > 0$. Следовательно, наш ряд является строго положительным.

Проверять выполнение необходимого условия сходимости здесь несколько затруднительно, поэтому эту проверку мы пропустим.

Что мы можем сказать про общий член ряда? Он содержит многочлены $3n+7$, $2n^3-1$ и степень $5^n$. Это сразу наводит на мысль о применении признака Д’Аламбера.

Чтобы применить данный признак, нам придётся найти предел отношения $frac>$. Общий член ряда у нас есть, вот он: $u_n=frac<5^ncdot(3n+7)><2n^3-1>$. А формулу для $u_$ запишем отдельно. Чтобы записать $u_n$, нужно в формулу $u_n=frac<5^ncdot(3n+7)><2n^3-1>$ вместо $n$ подставить $n+1$:

При желании знаменатель можно записать без скобок, так как $2(n+1)^3-1=2n^3+6n^2+6n+1$, однако в этом нет необходимости. Итак, найдём чему же равно значение $lim_frac>$. При упрощении получившегося выражения учтём, что $frac<5^><5^n>=5^=5^1=5$.

Чтобы вычислить получившийся предел, нужно разделить и числитель и знаменатель на $n^4$ (см. пример №1 на этой странице):

Так как $lim_frac>=5>1$, то согласно признаку Д’Аламбера заданный ряд расходится.

Честно говоря, признак Д’Аламбера – не единственный вариант в данной ситуации. Можно использовать, например, радикальный признак Коши. Однако применение радикального признака Коши потребует знания (или доказательства) дополнительных формул. Поэтому использование признака Д’Аламбера в данной ситуации более удобно.

Ответ: ряд расходится.

Так как нижний предел суммирования равен 1, то общий член ряда записан под знаком суммы: $u_n=frac<sqrt<4n+5>><(3n-2)!>$. Заданный ряд является строго положительным, т.е. $u_n>0$.

Читайте также:  Windows 10 бесплатная или нет

Общий член ряда содержит многочлен под корнем, т.е. $sqrt<4n+5>$, и факториал $(3n-2)!$. Наличие факториала в стандартном примере – почти стопроцентная гарантия применения признака Д’Аламбера.

Чтобы применить данный признак, нам придётся найти предел отношения $frac>$. Чтобы записать $u_$, нужно в формулу $u_n=frac<sqrt<4n+5>><(3n-2)!>$ вместо $n$ подставить $n+1$:

Так как $(3n+1)!=(3n-2)!cdot (3n-1)cdot 3ncdot(3n+1)$, то формулу для $u_$ можно записать по-иному:

Эта запись удобна для дальнейшего решения, когда нам придётся сокращать дробь под пределом. Если равенство с факториалами требует пояснений, то прошу раскрыть примечание ниже.

Как мы получили равенство $(3n+1)!=(3n-2)!cdot (3n-1)cdot 3ncdot(3n+1)$? показатьскрыть

Запись $(3n+1)!$ означает произведение всех натуральных чисел от 1 до $3n+1$. Т.е. данное выражение можно записать так:

Непосредственно перед числом $3n+1$ стоит число, на единицу меньшее, т.е. число $3n+1-1=3n$. А непосредственно перед числом $3n$ стоит число $3n-1$. Ну, а непосредственно перед числом $3n-1$ имеем число $3n-1-1=3n-2$. Перепишем формулу для $(3n+1)!$:

$$ (3n+1)!=1cdot2cdotldotscdot(3n-2)cdot(3n-1)cdot 3ncdot (3n+1) $$

Что представляет собой произведение $1cdot2cdotldotscdot(3n-2)$? Это произведение равно $(3n-2)!$. Следовательно, выражение для $(3n+1)!$ можно переписать в такой форме:

$$(3n+1)!=(3n-2)!cdot (3n-1)cdot 3ncdot(3n+1)$$

Эта запись удобна для дальнейшего решения, когда нам придётся сокращать дробь под пределом.

Общий член ряда содержит как факториал $(2n+5)!$, так и степень $4^<3n+2>$. Применяем признак Д’Аламбера.

Нам потребуется $u_$. Подставляя в формулу $u_n=frac<(2n+5)!><4^<3n+2>>$ вместо $n$ выражение $n+1$, будем иметь:

Вычислим значение $lim_frac>$. При сокращении станем учитывать, что $(2n+7)!=(2n+5)!(2n+6)(2n+7)$ (см. примечание в предыдущем примере №2) и $frac<4^<3n+2>><4^<3n+5>>=4^<3n+2-(3n+5)>=4^<-3>=frac<1><4^3>=frac<1><64>$.

Так как $lim_frac>=infty$, то согласно признаку Д’Аламбера заданный ряд расходится.

Ответ: ряд расходится.

Продолжение темы исследования сходимости рядов с помощью признака Д’Аламбера рассмотрим во второй и третьей частях.

Администратор
Роман

Tel. +380685083397
[email protected]
skype, facebook:
roman.yukhym

Решение задач
Андрей

facebook:
dniprovets25

Ссылка на основную публикацию
Чем чистить датчик абсолютного давления
ВСЁ СВОИМИ РУКАМИ 12.06.2018 . . После покупки Шевроле Лачетти оказалось, что эта первая моя машина, на которой был установлен...
Фото авы удаленного вк
Рабочий способ который на 100 процентов поможет вам вернуть и восстановить вашу удаленную фотографию в социальной сети вконтакте. Мы постарались...
Фото внутренностей айфон 6
Шаг 1 Время обзора iPhone 6! Давайте посмотрим на некоторые технические спецификации: Процессор Apple A8 с 64-битной архитектурой Копроцессор движения...
Чем хорош увлажнитель воздуха отзывы
у нас на работе стоял, попеременно двигали каждый к себе поближе, ибо да, с ним как-то лучше, мне лично глазам...
Adblock detector